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前進名校 AP微積分如何備考?

微積分AP網上考試。(Getty Images)
微積分AP網上考試。(Getty Images)

關於大學先修課程(Advanced Placement,簡稱AP)和考試,很多家長都有一些共同的問題,比如如何選擇科目、如何備考、考幾分才算好成績、AP考試之於大學申請的價值等。在此我想就AP微積分─這個最為重要、也最具競爭的一個科目─做一些簡要的分析。

AP包括34個學科課程,共七大類,主要分為數學與計算機(電腦)科學類、英文語言類、自然科學類、歷史社科類、藝術類等。其中AP微積分(AP Calc)分為AB和BC兩門。微積分(Calculus)作為很多學科的基礎知識,是專業學習的必需內容,對大部分學生未來的學習研究和職業生涯,都極為重要。

想進入計算機、信息技術、數據科學、經濟、醫學、工程、商科等領域發展的人來說,都需要堅實的微積分學習基礎。20世紀最重要的數學家之一馮諾依曼認為,微積分是現代數學的最高成就,對它的重要性怎樣估計都不過分。

優秀的AP微積分成績和考試分數,對大學申請有非常正面的作用。通常我們認為,學習微積分可以使學生建立一種不同的思維方式,比如極限思維、把問題抽象成數學公式的能力、空間想像能力等,大學也非常重視學生在這方面的基礎和程度。

一般來說,在大學中,除個別專業外,微積分在大一都是必修課,只是根據專業不同,在課程難度和應用(application)方面略不相同。所以對於大學申請來說,我們看到,通常AP Calc可抵免的學分最多, AP Calc BC考到5分,通常可以抵免6-8個學分;而且越頂尖的學校越重視,比如MIT(麻省理工學院)允許抵免到12個學分。這使學生不僅最大程度上降低了大學學習的時間和費用成本,同時也可以在大學期間利用時間更多地選修其他有興趣的課程。

先搞懂考試內容

我們有著十年教齡的應用數學、理論物理雙碩士Jason老師,詳細分析AP微積分AB和BC的內容、區別、評分辦法後,由我就AP微積分的考點做一些簡單的總結:

考試內容方面,AP微積分AB和BC所考內容大概包含四個部分,分別為:(1)函數、極限和連續:考試內容以求極限值和漸近線為主。(2)導數、微分及應用:考試重點,考試內容以運用不同函數的導數去解決實際物理或者幾何問題為主。(3)不定積分、定積分及其應用:考試重點,考試內容以運用不定積分的運算法則求體積、面積或者解決實際問題為主。(4)微分方程:考試內容主要考可分離變量的微分方程和斜率場。

BC比AB涵蓋的內容增加了約30%,且都是更難的內容,像是:(5)無窮級數,為考試難點,只有BC考,考試內容以泰勒級數、麥克勞林級數和拉格朗日餘項為主。

考試形式和評分方面,AP微積分AB和BC的考試時長均為3小時15分鐘,其中包括45道選擇題(1小時45分鐘)和6道簡答題(1小時30分鐘)。每個選擇題答對得1分,不答得0分,答錯不扣分。簡答題每道題9分,共54分,占總分的50%。簡答題由評卷老師按照得分點給分。AP Calc 5分需要學生至少要達到卷面60%-70%的正確率,4分則需要50%-60%的正確率。

兩門考試怎麼選?

如何選擇是考AP微積分AB還是BC呢?BC全美滿分率一直在40%以上,而AB滿分率通常在20%以下。據College Board在2020年的最新數據,BC滿分率為44.6%,遠高於其他任何AP科目的滿分率。就大學申請來說,另一個含金量極高、且滿分率也很高的,是AP Physics C,滿分率也高於40%。這在統計學觀念上看有點奇怪,但實際上證明了一點,即優秀的學生,更願意挑戰更能反映自身功底的考試,並有能力拿到高分,從而與眾多一般水平的學生區分開。

從兩者涵蓋的知識內容來看,大部分大學的微積分課程分為三個級別:Calculus I,Calculus II和Calculus III。AP Calc AB包含了全部Calculus I的內容;AP Calc BC包含全部Calculus I的內容和20%-30% Calculus II的內容。所以BC比AB包含更多內容,且更難。對於大學衡量申請者的微積分基礎,在BC獲得5分的含金量遠高於AB的5分。在學分抵免方面,BC能抵免到更多學分,有的學校AB甚至不能抵免學分。

選擇時學生需要根據三個方面考量:數學基礎,未來的專業方向和學校目標,當前計畫的備考時間。數學基礎好,或者未來會選擇非文科方向,以及名校的學生,都會報考BC。預留足夠的學習和備考的時間,顯然可以最大程度上確保高分,即使是備考難度更大的BC。

大學先修課程精英雲集,考滿分的學生很多。(Getty Images)
大學先修課程精英雲集,考滿分的學生很多。(Getty Images)

備考從了解規則開始

AP微積分如何備考?首先必須了解最基本的考試和評分規則,從平時的練習中就有針對性地訓練。因選擇題答錯不扣分,所以絕對不要跳題。簡答題在答題時有明確的評分標準,按步驟給分,不按要求答題,即使答案正確也不會得滿分。簡答題部分占比50%,如果這部分完成不好,拿滿分是不可能的。很多同學容易忽視這一點,即便做對了,也會丟掉很多步驟分,非常可惜。就我們多年的經驗來看,對大部分學生來說,簡答題的答題步驟需要從平時的做題中就持續訓練,指望在備考階段完全掌握這些答題技巧很困難。

需要注意的是,平常做題不要太依賴計算器,不僅是因為要鍛鍊計算能力,還因為超過一半的題是不能用計算器的。如果養成依賴性,考試時的做題節奏和時間掌控會被嚴重影響。且AP微積分考試不提供公式表,學生需要自己歸納各類公式,如函數的微分和積分公式、三角函數特殊角的值、級數展開式等,並通過做題目來記憶,提高熟練度和公式的運用。

盡早準備才能拿高分 

其次,預留足夠的備考時間。通常學生需要3-6個月的準備時間,包括梳理知識點、找出自己的難點、模擬練習、有針對性地復習等。Jason老師也建議學生不要盲目刷題,因為AP微積分考試主要靠理解,不像SAT類的考試準備主要是考試技巧訓練。

另外,微積分的考試計算量特別大,只要在任何一個地方疏忽就會導致前功盡棄,而且考試時間緊湊,基本不可能有第二次檢驗答案的時間。所以學生需在平時的練習中,做嚴格的模考練習,在規定時間內做到一次性正確解題。

總之,如果報考AP,尤其是AP微積分,若不能拿到5分,對於目標是名校理工科的學生來說意義不大。建議大家加強重視,盡早準備。

(作者為紐約專業學科教育輔導機構Aim Plus Education副總裁,有逾十年在美國教育及教育諮詢行業的管理經驗,曾為眾多家庭提供過學術和教育規畫。)

微積分平時要多理解,考試才能得高分。(Getty Images)
微積分平時要多理解,考試才能得高分。(Getty Images)
修習大學先修課程,要考得高分才能抵免大學學分。(Getty Images)
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